数学の発想力とは何か?発想と処理を区別して勉強しよう!

数学の問題を解く上で、突拍子もない解決策を発想する力(思いつく力)は必要ありません。しかし、誰でも出来るような発想は出来ないといけません。そして、それは何もない所からひねり出すものではなく、勉強して身につけるものです。そのためにどのような勉強をしていけば良いかを具体例を通してご紹介します。

数学の問題を解く上で必要な発想と処理について

数学の問題を解く上で、必要な力は発想力と処理力です。具体的な問題を通して見ていきましょう。

問:すべての x に対して \displaystyle x^2-2ax+4a+5>0 となるような a の範囲を求めよ。

数学における発想力とその具体例

実力を養成している間は、上の問題が解ける解けないはどうでもいいことです。この問題文を読んで以下のことが発想(思いつく)できるかどうかが大事です。

発想①:最小値が 0 より大きければ良いな。

発想②:グラフが x 軸より上にあれば良いな。

問題の条件を満たすためには何を実現させれば良いのだろう、ということが数学における発想であり、これを身につけることを意識して勉強していくことが大事です。そして、発想とは問題文の言い換えに近いものです。

発想の後は処理するだけ

発想①が出来れば、平方完成で最小値を求めるという処理をする。

発想②が出来れば、判別式 D<0 という処理をする。

このように 、発想が出来れば処理自ずとわかることがほとんどです。

発想力を身につけるための勉強法

「1対1対応の演習」の問題文の下には前文と呼ばれるものがあります。例えば数学Bの p.89 には以下のような前文があります。

1対1B前文

出典:「1対1対応の演習 数学B」p.89

ここを理解して、確実に覚えましょう。これが発想の源になります。そして、これを意識して問題を解く訓練をすると発想が出来るようになっていきます。では、実際にやってみましょう。演習題を改変します。紙とペンは必要ありません。こんなことを実現すれば良いんじゃない?という発想だけして下さい。

演習(3):\displaystyle a^2+b^2 \leqq R を満たす a , b については \displaystyle b \leqq -2a^2+\frac{1}{2} が成り立つとする。このような R の最大値を求めよ。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

発想できましたでしょうか?次のようなことが意識できていればOKです。

①:前文は領域の包含関係で考えろと言っているのだから、この問題文も「ならば」を使って表現できないか?

\displaystyle a^2+b^2 \leqq R \Rightarrow b \leqq -2a^2+\frac{1}{2} が成り立つ時 R の最大値を求めよ」と言い換えられるな。

②:\displaystyle a^2+b^2 \leqq R は円を、\displaystyle b \leqq -2a^2+\frac{1}{2} は放物線を表しているな。

③ :Rは半径(の平方根)を表しているな。Rの最大値とはなんだろうか?

④:Rを大きくしていくと、放物線からはみ出てしまうから、接している時にRが最大となるか。じゃあ円と放物線が接する時を考えればよいな!

 

このような発想が出来たでしょうか?ここまで来れば後は処理の問題です。円と放物線が接する時の処理方法は知っておかないといけないものです。知らない人はチャートなどで確認して覚えてしまいましょう。でも、この問題で使った発想は丸暗記しても意味がありません。この問題は円と放物線が接する時を考えれば良いんだ、と覚えても何も意味ないですよね。全く応用が利きません。

 

この問題は前文にある「領域の包含関係を考えること」がポイントでした。でも実際は、別のポイントで躓いた人も多いのではないでしょうか?

①:「ならば」への言い換えが出来なかった。

②:それぞれを図形として捉えていなかった。

③:Rが半径と見抜けなかった。

④:Rの最大が何を意味しているのかわからなかった。

などなど、間違えるポイントは人それぞれです。自分が出来なかったことをしっかり認識して次に活かすことが大事です。ですので、1問から得るべきことは人によって全然違います。そこを意識して勉強して下さい。誰かが〇〇が大事だから、と言っても貴方にとっては別の所が大事なのかもしれません。でも前文だけは誰にとっても必要なので、必ず理解して覚えて下さいね。

まとめ

・数学における発想とは「問題文を読んで、〇〇を実現すれば良いんだな」と言い換えることである。

・覚えるべき発想の源は『1対1対応の演習』の前文に全てある。

・処理方法は知らないと無理な場合があるので、チャートなどを活用する。

・発想が出来ないのか、処理が出来ないのかでやるべき事は変わる。

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