【2019年度】全統医進模試の問題と講評(数学)

2019年の全統医進模試の講評です。受けた方の参考になれば幸いです。国公立医学部と慶應医学部向けらしいですが、慶應医学部を受ける人には物足りないでしょう。旧帝以外の医学部向けにはちょうど良いと思います。

2019年度全統医進模試の問題と講評

大問1の問題

 

大問1

大問1の講評

目標点数:50/50点

(1)について

ただ数えるだけなので簡単です。Z会のセンター対策問題集に載っていてもおかしくないレベルです。10分以内で終わらせましょう。

(2)について

どちらも「基礎問題精」に載ってる程度の問題です。医学部に行きたいのであれば落とすわけにはいきません。(ii)の偏角の問題は「理系数学入試の核心 標準編」にほぼ同じ問題があったような…

大問2の問題

大問2

大問2の講評

目標点数:30/50点

(1)と(2)は出来ないとダメです。これもやはり「基礎問題精講」程度の問題です。ほぼ同じ問題があったはずです。手が止まらずに解き切りたいです。

 

(3)は差がつきそうです。標準問題に分類されると思いますが、標準の中では難しい問題だと考えます。東大や慶應、日医などの軌跡・領域問題が頻出である大学を考えている人であれば取りたい。しかし、志望大学でこのような問題がほとんど出ないのであれば途中まででも良いと思います。途中とは解説にある

\displaystyle Y=2X^2+aX+a^2

を求める所までです。ここまでは進めるべきでしょう。ここまで行かなかったとすると、他の受験生に差をつけられてしまう可能性があります。

 

志望大学で軌跡・領域の問題が頻出の人は別解を全て身に着けるべきです。この問題はどの別解でも解けますが、難しい問題になるとこの中の1つでしか解けない場合があります。念には念をいれて勉強しておきましょう。解けたからといって満足してはいけません。軌跡・領域を重点的に勉強したい場合は以下の3冊が有用です。

全然出来ない人用

基本的なことは出来るので、どんな問題でも解き切る力をつけたい人用

大問3の問題

大問3

大問3の講評

目標点数:35/50点

(1)と(2)(ii)は「入試数学の基礎徹底」にあります。基本中の基本なので絶対に解かないといけない問題ですね。(2)(ii)は解説のようにうまく誘導に乗れずに

47n-27x=46

になっても「入試数学の基礎徹底」の方法で解けます。

 

(2)(ii)は有名な問題で、知識問題といっても過言ではありません。「1対1対応の演習 数学A」の演習題に同じ問題があります。知らなかった人はこれを機会に覚えましょう。

a, bを互いに素な整数とするときax+by=1を満たす整数x, yが存在する

という有名な定理があります。この証明の途中で(2)(ii)を使います。2018年の聖マリアンナ医科大学でも出題されましたね。

参考:https://examist.jp/mathematics/integer/axby1/

 

(iii)難しくはないですが、これを制限時間内に答案としてまとめるのは中々難しいと思います。アイデアは簡単です。

a_5=189=27\cdot 7です。また、a_1a_2 \cdots a_{27}を27で割った余りはすべて異なります。これらから、順番を変えれば

a_1a_2 \cdots a_{27}=27 \cdot 7(27a+1)(27b+2)\cdots (27c+26)

となることがわかります。これを割り切る最大のmを探せば良いわけです。それは結局、余りの所だけに注目した

27 \cdot 7\cdot 1\cdot 2\cdots 26

を割り切る最大のmを見つければ良いことになります。後は単純に数えれば13個とわかります。a_{28}以降も同じです。これを小難しく書くと解説のようになります。

 

部分点は欲しいですが、旧帝未満の国公立医学部狙いの人ではちょっと厳しいのではないでしょうか。

大問4の問題

大問4-1

大問4-2

大問4の講評

目標点数:50点

(1)(2)が出来なかったら今年の入試は諦めるべきでしょうね。

(3)を乗り切れたかどうかが最大の山場ですね。このセットが入試であれば、ここを落とすと不合格になるような気がします。僕は解いてる時に手が止まりました。そして、以下のことを基に考えました。

・(1)や(2)をうまく利用するのかな?

・点Pの作り方がサイクロイドと似ているな。じゃあOPベクトルを求める方針でいくのかな?この場合、Qを経由するんだろうな

2つ目を考えると、(1)と(2)がうまく使えることに気づき、正解にたどり着きました。この問題の類題が載っている問題集はあってもかなり少ないでしょう。その場でサイクロイドとの類似性から攻める問題だと思います。覚えなくて良いですが、伸開線という名前がついています。下記のHPが参考になります。

https://examist.jp/mathematics/parameter-polar/involute-circle-baikai/

https://examist.jp/mathematics/sum-volume-length2/involute-sl/

 

(4)は(3)が出来た人へのサービス問題です。

2019年度全統医進模試のまとめ

国公立医学部と慶應医学部を目指す人用と書いてあったので、難しい模試なのかと思いきや、全統記述模試に毛がはえた程度のレベルでした。これを年1回受けるのであれば、駿台の全国模試を3回受けた方が良いです。予想ですが、難易度も受験者数も全国模試の方が上です。

ただ、大問1以外の最後の方の問題は標準の中でも難しかったり、その場で頭を使う問題が配置されています。数学があまり難しくない国公立医学部を受ける人にとっては受ける価値はあると思います。

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