【過去問】杏林大学医学部2018の考え方と解き方

杏林大学医学部2018の考え方&解き方を述べます。また、取るべき問題、落としても良い問題も記載しております。すぐ下にある記号(◎や〇など)を参考にしてください。

 

以下で用いる記号について

・◎ 合格するためには取らないといけない問題

・〇 数学で点数を稼ぎたい人は取りたい問題

・△ 解かなくても問題ないであろう問題、もしくは経験がないと無理な問題

・✕ 制限時間内では解けないと思われる問題、もしくは難しい問題

 

大問 Ⅰ の考え方と解き方

大問Ⅰの問題

 

Ⅰ.(a)ア~カ◎ 目標時間 5 分

ア:計算するだけです。

イ:\displaystyle a_{n+2} が登場するので、当然(?)1 つめの式の添え字をひとつ増やして \displaystyle a_{n+2}=3a_{n+1}-b_{n+1} とします。

これに 2 番目の式を代入すると \displaystyle a_{n+2}=3a_{n+1}-4a_n-7b_n となります。

問題文と見比べると、\displaystyle b_n が邪魔なので、どうやって消そうか考えます。そうすると、1 番目の式をもう一度使えば良いことに気付きます。

補足:連立漸化式には他にも解法があります。

・2 式を足したり引いたりすると等比数列型の漸化式になる

\displaystyle a_{n+1}+\alpha b_{n+1}=\beta (a_n+\alpha b_n) の形をつくる

どの方法でも解けるようにしておいて下さい。

ウ~カ:ただ漸化式を解くだけです。

 

Ⅰ.(b)キ~セ◎ 目標時間 3 分

基本的な漸化式に、親切な誘導までついています。

 

Ⅰ.(c)ソ~ト◎ 目標時間 5 分

ツテトは形的に部分分数分解でもさせられるのかな?と思いましたが、単なる計算問題でしたね。

 

大問Ⅰの答

(a)ア:1

イ:5

ウ:5

エ~カ:\displaystyle a_{n+1}-pa_n=-4\times 5^{n-1}

(b)キ~コ:\displaystyle \frac{-4}{25}

サ~セ:\displaystyle a_n=(-4n+9)\times 5^{n-2}

(c)ソ~チ:\displaystyle \frac{-1}{2}

ツ~ト:\displaystyle \frac{5}{16}

 

大問Ⅱの考え方と解き方

大問Ⅱの問題

Ⅱ.(a)アイ◎、ウエ△

僕が空間図形が苦手だからかもしれませんが、z の座標が難しかった(笑)面 ABC と面 DEF のように向かい合った(?)面は反対向きになっているということを知らないと解けません。空間図形は杏林大学の他に、岩手医科大学も結構難しい問題を出すので、この 2 大学を受ける人はきちんと対策した方が良さそうです。

 

Ⅱ.(b)オ~ク△

(a) が解けた人にはサービス問題ですが、解けなかったら出来ません。

 

Ⅱ.(c)シス〇、セ◎、チ~ト〇、ナ〇 目標時間10分

シス:各辺の長さを求めようと思って図を描けば、相似が使えることに気付くはずです。

セ:どう見ても六角形ですね。

ソタ:断面積の最大とか最小は、だいたいt=\frac{1}{2} のときです。勘で当てたい

チ~ト:正六角形になるので、面積は簡単に求まります。

ナ;正六角形なので、やはり外接円の半径はすぐわかります。

 

大問Ⅱの答

(a)アイ:\displaystyle 2\sqrt{3}

ウエ:\displaystyle 2\sqrt{6}

(b)オ~ク:\displaystyle \overrightarrow{\rm MF}=(-\sqrt{3} , 0 , 2\sqrt{6})

ケ~サ:\displaystyle \cos \theta=\frac{-1}{3}

(c)シス:18

セ:6

ソタ:\displaystyle t=\frac{1}{2}

チ~ト:\displaystyle \frac{27}{2}\sqrt{3}

ナ~ヌ:3

 

大問Ⅲの考え方と解き方

大問Ⅱの問題

 

Ⅲ.(a)ア~キ◎ 目標時間3分

パッと見で 3 通り思いつきます。

①:基本通りに場合分けして絶対値を外す

②:\displaystyle |f(x)|>g(x) \Longleftrightarrow f(x)>g(x) \lor f(x)<-g(x)

③:グラフを利用(y=f(x),  y=2x+6 を書いて、y=f(x) が直線よりも上にある範囲を求める)

どれでやっても大差ないかもしれませんが、不等式ではなく方程式を扱う分だけ③が楽かもしれません。

 

Ⅲ.(b)ク~サ◎ 目標時間5分

実数解の個数なので、定数分離などをしてグラフを使って解いていきます。2 通り考えられますね。

①:y=f(x),  y=2x+k のそれぞれのグラフを描いて、共有点が 3 個あるような k の条件を探す

②:f(x)-2x=k と定数分離してしまう。左辺のグラフを書けば終わり。

どちらでも好きな方で良いと思います。「入試の核心 標準編」39 と「Focus Gold ⅠA」例題 104 に類題があります。

 

Ⅲ.(c)シ~セ×

絶対値がついているので微分できません。極値と言われて微分することしか思いつかない人(おそらく99.9%の人)はここで脱落です。私もあたふたしました(笑)こんな時は捨てるか、定義に戻って考えることになります。この問題を解くには、2 つの定義(約束)を覚えている必要があります。

 

・1 点目、極大とは、山の頂上のような点のことです。微分とは関係なく定義されています。極小の例で言えば、y=|x|x=0 で微分不可能ですが、x=0 で極小となります。

・2 点目、例えば\sin \pi =0 ですが、これは\sin{3.14\cdots}=0 ということです。\sin の後ろには角度が入っているわけではない(角度とみなしても良いけど)という認識は重要です。

 

そして、我々はy=\sin x のグラフなら良く知っています。\displaystyle x=\frac{\pi}{2} , x=\frac{3}{2}\pi でそれぞれ極大、極小となります。

 

さて、準備終了です。\displaystyle \frac{3}{2}\pi\fallingdotseq 4.71 などに注意しましょう。\sin の後ろは次のように変化します。

\displaystyle 6\rightarrow \frac{3}{2}\pi \rightarrow \frac{\pi}{2}\rightarrow 0\rightarrow \frac{\pi}{2}\rightarrow \frac{3}{2}\pi\rightarrow \frac{25}{4}\rightarrow \frac{3}{2}\pi\rightarrow \frac{\pi}{2}\rightarrow 0\rightarrow \frac{\pi}{2}\rightarrow \frac{3}{2}\pi\rightarrow 6

 

 

グラフからの方がよりわかりますが、\displaystyle \frac{\pi}{2} を 4 回通過するので、極大値は 4 個あります。また、\displaystyle \frac{25}{4} をまたぐ時も極大になります。\displaystyle \sin \frac{3}{2}\pi<\sin\frac{25}{4}>\sin\frac{3}{2}\pi と書けば山になっているイメージがわかりますかね?

以上の合計 5 個になります。

 

大問Ⅲの答

(a)ア~キ:\displaystyle x<\frac{3-\sqrt{57}}{2} , -1<x<0 , \frac{3+\sqrt{57}}{2}<x

(b)ク~サ:\displaystyle k=4 , k=\frac{25}{4}

シ:5

ス:\displaystyle x=\frac{1}{2}

 

大問Ⅳの考え方と解き方

問題

 

まず解き始める前に、与えられた式を見て、以下のことを考えましたか?

・絶対値を外そう

 f(x)y 軸対称なので、x>0 だけ考えればいいな。これで絶対値が外れた

\displaystyle y=x\log x は有名な関数。これをx 軸に関して対称移動しただけか

Ⅳ.(a)ア◎ 目標時間1分

f(0)=0 は有名事実です。それを知らなくても、\displaystyle \lim _{x \to \infty}\frac{\log x}{x}=0 を使うためには…と考えると \displaystyle x=\frac{1}{t} という置換は自然だと思います。

 

Ⅳ.(b)イ~オ◎ 目標時間2分

\displaystyle y=-x\log x の最大値を考えるだけなので、簡単ですね。

 

Ⅳ.(c)カ~ク◎、ケ〇 目標時間10分

カ~ク:パッとは良くわからなかったのですが、誘導に乗って計算していけば答えが出ます。気をつけないといけないのは、もう対称性は使えないということです。( -1 , 1 ) から接線を引くとき、x>0 のところだけを考えてもダメです。

 

ケ:〇にしましたが、類題は沢山解いたことがあるはずです。特に「点 (2 , a) を通って、曲線y=x^3 へ 3 本の接線が引けるようなa の範囲を求めよ 」のような問題はやったことがあるはずです。これらと発想は同じです。

 

t+\log |t|=0 , -2 を満たす t が何個あるか調べるだけです。そのためには、左辺のグラフを描けば良いのです。ただ、グラフを描けば、ぱっと見で 3 本というのは見当がつくかと思います。

 

Ⅳ.(d)コサ◎、シス△ 目標時間10分

コサ:これは出来るでしょう。

 

シス:バームクーヘン分割を使わないと厳しいと思います。ただ、バームクーヘンって修得しているものなんですかね?私大医学部だと年 1 回使うか使わないか、という実感です。知らなかった人は是非この機会に修得して下さい。

 

大問Ⅳの答

(a)ア:f(0)=0

(b)イウ:\displaystyle \log \alpha=-1

エオ:\displaystyle \log |\beta|=-1

(c)カ~ク:\displaystyle t+\log|t|=0 または -2

ケ:3 本

(d)コサ:\displaystyle \lim_{k \to 0}S(k)=\frac{1}{4}

シス:\displaystyle \lim_{k \to 0}V(k)=\frac{2}{9}\pi

 

 

杏林大学2018のまとめ

合格最低点は非公開です。

ⅡとⅢ(c) は出来なくて良いと思います。残りをミスなく取れれば 70 % はあるので十分合格点のはずです。バームクーヘンを知らない+どこかで計算ミスして 60 % くらいでも 1 次くらいは通るはずです。満点を狙いにいって Ⅱ で無駄な時間を使うよりは、きちんと見直しして、取るべきところに時間を使うのが賢明だと思います。

 

Ⅰはきちんとした誘導ですが、Ⅱ~Ⅳは誘導ではなく、単発の問題が並んでるという杏林らしいセットです。1 問解けなかったといって、その後すべてを捨てるようなことはしないで下さい

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