【過去問】島根大学医学部2018年の数学を考察する

島根大学医学部の過去問を解いている時に考えたことや、どうやって対策したら良いかの意見を書きます。参考になれば幸いです。この年から、医学部は総合理工学部と問題が共通になりました。

島根大学医学部2018年 大問1

(1)で考えたこと

 \displaystyle n=3k-2\ (k は自然数) を代入するだけですね。

(2)で考えたこと

(1) がヒントになっていることは見え見えだと思います。

 \displaystyle n=3k  \displaystyle n=3k-1 で与式が 3 の倍数になることを確認するだけです。

 

当たり前(?)ですが、 \displaystyle n=3k のときは  \displaystyle n が 3 の倍数となり、 \displaystyle n=3k-1 のときは  \displaystyle (n+1) が 3 の倍数となります。

(3)で考えたこと

(1)、(2)と同じことをしようと考えるのが普通ですよね。文字が 2 つ出てきて、最初は混乱すると思いますが、きちんと情報を整理すれば大丈夫です。

(2)と同じように考えると l を自然数として

  n=(k+2)l のときは  n  k+2 の倍数になる。

  n=(k+2)l-1 のときは  (n+1)  k+2 の倍数になる。

  n=(k+2)l-2 のときは  (n+2)  k+2 の倍数になる。

 \cdots

  n=(k+2)l-k のときは  (n+k)  k+2 の倍数になる。

 

ここまでは問題ないと思います。答案としては格好悪いですが、減点はないと思います。問題は、次の

  n=(k+2)l-(k+1) のときに  \dispalaystyle (1+n+n^2+\cdots +n^{k+1})  k+2 の倍数になる。

これをどうやって示すかです。代入するのは非現実的です。ですので、思考を切り替えて別の方法を探しましょう。

 

「〇〇が△の倍数であることを示せ」や「〇〇を△で割った時の余りを求めよ」と言われた時に使うのは合同式です。いわゆる mod ですね。そうすると

  \displaystyle n \equiv 1 のとき \dispalaystyle (1+n+n^2+\cdots n^{k+1})  k+2 の倍数であることを示せ

となります。これは明らかですね。代入、計算して終了です。

島根大学医学部2018年 大問2

(1)で考えたこと

出来ない人が意外に多そうだなって思いました(笑) \displaystyle t=\frac{\pi}{4} の使い方は大丈夫ですかね?わからない人はおそらく

 \displaystyle \frac{dy}{dx}

の意味の理解が不十分だと思います。もちろん、微分するという記号ですが、それと同時に傾きを表しているイメージは持てていますか?

 

ちなみに、答としては  \displaystyle t=\frac{\pi}{4} のとき、 \displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2}} なので、これを  \displaystyle \frac{dy}{dx} に代入して終了です。

 

この計算が出来ることが大事なのではありません。なんでこの計算で接線の傾きが求まるのかをイメージ出来ているかどうかです。これが出来ない人は今のうちに確認しておきましょう。

(2)で考えたこと

物理選択の人は出来て当然ですが、生物選択の人でこの分野を不得意にしてしまっている人は多いと思います。今回は「 y 軸方向の速度  \displaystyle \frac{dy}{dt} 」と書いてくれているので大丈夫ですが、 \displaystyle \frac{dy}{dt} がなくても反応出来るようにしておいて下さい。

 

先程申し上げた  \displaystyle \frac{dy}{dx} のイメージや  \displaystyle \frac{dy}{dt} のイメージが正確であれば難しいことはありません。腑に落ちるまで教科書や参考書を読んで下さい。

 

生物選択の人って「速度」と「速さ」の違いがたまにわからなくなりませんか?僕はときどき怪しくなります(笑)

(3)で考えたこと

積分して初期値を考えれば終わりですね。一応、微分方程式の範囲に入るのかな?単なる積分ですですかね。

(4)で考えたこと

積分するので   \displaystyle y(t)  x 軸の上下関係だけ調べましょう。グラフを描く必要はありません。そして、肝心の積分ですが、必ず

 \displaystyle \int y dx

から書き始めて下さい。ここから始めないがために、間違える人が毎年結構な人数います。今回の場合は

 \displaystyle \int_0^1 y \ dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} y\  \frac{dx}{dt} \ dt

と置換積分するのが基本です。

島根大学医学部2018年 大問3

(1)で考えたこと

「3 点が一直線上にある」と言われて、どんな方針が思い浮かびますか?僕がパッと思い浮かんだのは以下の 3 つでした。

・ベクトルの利用

・座標平面で考えて直線の方程式を立てる

・メネラウスの定理の逆

また、対称点をどう処理するか?に関しては以下の 3 つが思い浮かびました。

・図形と方程式の典型題を真似してみる

・複素数平面の利用

・(とりあえず)作図してみよう

以上の 6 つを総合すると座標平面を使いたいのですが、点 A の座標が複雑になりそう。よって対称点を作っていくと計算が地獄になりそうだと思い、一旦保留しました。

 

視点を切り替えて、「メネラウスの定理の逆」かな?と考えてみたんですが、これも失敗(おそらく出来ません)。

 

しょうがないので、とりあえず作図して、分かる角などを書き込んだりしていたら角CPO が 180°になることが判明。一本取られた気分でした(笑)

 

2019年もそうでしたが、図形の証明問題がやりづらいですね。

(2)で考えたこと

30°, 60°, 90°の直角三角形が出てくるだけで、中学生でも解ける問題です。これは絶対に落とせません。相似すら使いません。

(3)で考えたこと

(2) が誘導であることを考えれば、以下のようになるのかな?考えるのが自然です。

①:OC を  x ,\ y で表す。

②: x ,\ y  \theta で表す。

③:三角関数の最大最小問題に帰着される。

 

実際に、上の流れで答えが求まります。これは出来ないといけません。

島根大学医学部2019年 大問4

(1)で考えたこと

「連続して一致が起こった回数の最大値が M」の意味はわかりますか?ここを読み飛ばして全然違う確率を求めないで下さいね。

4回しか投げないのだから、ここは全てを書き出すのが一般的でしょう。一致を〇、不一致を✕とすると

〇〇✕✕、〇〇✕〇、✕〇〇✕、〇✕〇〇、✕✕〇〇

の5通りしかありません。

(2)で考えたこと

2k 回投げて、一致が  k 回だけ連続する」は「連」と呼ばれるものです。ですので、僕は問題文を読んで「連かぁ、めんどくさいな」と思いました(笑)「1対1対応の演習 数学A」p.11にあり、いわゆる典型問題です。知らないと結構大変ですが、有名問題なので出来ないといけません。具体的にどう考えるかは、1対1を読んで下さい。

(3)で考えたこと

ただの計算問題です。(2) が出来た人へのボーナス問題ですね。

島根大学医学部2018年のまとめ

大問1の(1)(2)は必ず得点しましょう。その上で、(3)は途中まで証明出来れば問題ないと思います。

 

大問2は微分や媒介変数の原理が分かっていれば簡単に解けますので、これは完答したい。過去問をやってて、この問題で詰まる人は微分や媒介変数の理解が甘いです。必ず腑に落ちるまで考え抜いて下さい。

 

大問3は(2)(3)を確実に得点して下さい。(1)は運が良ければ解ける問題です(笑)ただ、解けた解けないに関わらず、どの程度発想できたのかはチェックしておいて下さい。2019年もそうでしたが、図形の証明問題はちょっと難しいですね。ちょっと考えて分からないようなら飛ばしましょう。

 

大問4はやったことがある人は解けたでしょう。やったことがない人はかなり厳しかったのではないでしょうか?おそらく、合否を分けた問題だと思います。センターで 90%取れない人は、このような問題を取る必要があります。

 

絶対に確保しないといけない問題は以下です。

大問1(1)(2)

大問2

大問3(2)(3)

大問4(1)

これで 60% になるかならないか程度だと思います。ですので、センターで 90% 程度取れるなら、上記の問題が解ければOKでしょう。

センターで 80% しか取れないようであれば、大問4を完答する必要があります。その上で大問1(3)まで取れたら、逆転の可能性が高くなりそうですね。

 

総括としては以下になります。

・微分積分は苦手な範囲を作らないようにして、各操作の原理を理解する。

・教科書の章末問題レベルが出来れば 50% は取れる。

・50% から上乗せするには標準かつ典型問題を身につける必要あり。

・図形の証明はやりにくい

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